什么是集合

一、集合的概念

在小学时期，我们就已经接触了“集合”的概念，比如将五只不同的小鸡放在一个圈里，那么这个鸡圈就是一个集合。

在初等数学中，我们用大写字母表示集合，集合的标准形式为

$$A= \{元素\}$$

如果我们将有五只小鸡的圈子定义为一个集合 ，给五只小鸡命名为，那么集合就表示为

$$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$$

也就是说，每一只鸡都是这个集合的元素 ，那么反过来我们也可以说每一只鸡都属于集合 ，我们用符号 来表示属于的关系。用法如下（被包含在集合里的元素放在前面，”“开口朝向包含元素的集合）

$$a_{n(1 \leq n \leq 5)}\in A$$

我们可以用韦恩(venn)图来表示出这种关系

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二、集合的性质

1.互异性

一个集合当中不能出现两个相同的元素，比如 就不是一个集合，因为元素1与元素2重复了，这就是集合的互异性 。

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2.无序性

集合的无序性是指在一个集合中如果把元素的位置调换，则得到的新集合与原来的集合相等，比如有集合 ，集合 ，则集合=集合。换个例子，比如一个袋子中有苹果、橘子、桃子，将3个水果的顺序改变，则袋子中还是这3个水果，则这个袋子与其内的物品相较于原来来说是没有任何变化的。

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3.确定性

对于一个集合的描述必须要清晰，不能出现歧义，比如有一个集合，里面是贵的物品，这就不满足确定性，因为每个人对”贵“的定义不一样，有人认为200￥以上的叫“贵”，有人觉得2000￥以上的叫“贵”，所以有歧义，因此这个集合不成立。

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三、子集与真子集

1.子集

如果有一个集合，集合中的每个元素都是集合中的元素，我们称集合A为集合B的子集。

而当集合=集合时，集合的元素都是集合中的元素，并且元素数量一样多，这种情况也是满足子集的定义，所以在 的时候，集合也是集合的子集，反过来在这种情况下，集合也是集合的子集。

也就是说，如果集合A时集合B的子集，那么集合A有可能不等于集合B，比如A={1,2,3},B={1,2,3,4} ；集合A也有可能等于集合B ，比如A={1,2,3},B={1,2,3}.

集合为集合的子集我们记作：

$$A \subseteq B或B\supseteq A$$

读作：集合包含于集合，或读作：集合是集合的子集。

注意符号“”的开口方向，开口朝包含集合的集合。

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2.真子集

如果集合 集合 ，但 ，我们称集合是集合的真子集。

我们将这种关系记作：

$$A\subset B或B\supset A$$

读作：集合真包含集合，或读作：集合是集合的真子集。