绝对值最值问题的通解研究

在我刚上初中，学完绝对值的化简后，一类题目悄悄出现在我们的试卷之中，没错，就是求 的最小值。

像这样的题目我们应该怎么解决呢？这里我在面对数字较小时，基本上可以通过我们惊人的注意力得出答案，就比如：

$${(|x-1|+|x-2|+|x-3|)}_{min}$$

我们可以注意到，当 时，多项式有最小值，且 ，将 2 代入 ，得 ，所以有最小值为 。

我们又发现，当中间项为 0 且 为 3 的中位数时，此多项式还剩两项，且前后两项对称相等。我们可得出答案为 2。

所以我们可以有一个猜想：设有 项，且 为奇数时， 为 的中位数，即 。且当中间项为 0 时，剩下的每一项一一对称相等，那么我们可以写出式子：

$$\text{原式}=2\times \left\{ (x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-4)+\cdots +[x- (\lceil \frac{n}{2} \rceil -1)] \right\}$$

我们可以化简这个式子为：

$$2 \cdot [\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil-1}(\lceil \frac{n}{2} \rceil -k)]( \lbrace n,k \rbrace \in \mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=1 )$$

这便是 为奇数（有奇数项时）的最小值公式。

那么当 为偶数时，公式又为什么呢？
因为 为偶数，所以我们要想办法配凑出奇数项。根据正整数基本定义，我们设奇数=1，偶数=0，我们可以得到这样的式子：

$$\begin{cases} 0-1=1 \\ 1-0=1 \\ 1-1=0 \end{cases}$$

所以只要在偶数项中减去最后一项，便可以配凑出奇数项，就可以运用刚刚的公式，最终将最后一项加上去即可得出最小值。

举个例子，就比如：

$${(|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|)}_{min}$$

我们依旧可以注意到，当 时，多项式有最小值，且 ，但有细心的读者可以发现，我们去掉了最后一项，所以我们要把它加回来，那么我们可以得出答案：

$$\begin{aligned} \text{原式} & =2\times\lbrace (2-1) \rbrace-2+4\\ & = 2\times1+2 \end{aligned}$$

依旧设有 项，且 为偶数时， 为 的中位数，即 。且当 项的中间项为 0 时，除最后一项外其余项一一对称相等，那么我们可以写出式子：

$$\text{原式}=2\times\left \lbrace ( x-1 )+(x-2)+(x-3)+(x-4)+\cdots+[ x-(\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1) ] \right \rbrace+|x-n|$$

我们依然可以化简这个式子为：

$$2\cdot[ \sum_{k=1}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1}(\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-k) ]-\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n(\lbrace n,k \rbrace\in\mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=0)$$

我们是否能在进行化简呢？
答案是可以的！

化简后，我们可以易得出：

$$\begin{cases} \text{式①}=\frac{n^{2}-1}{4} \\ \\ \text{式②}=\frac{n^2}{4} \end{cases}$$

下面，我来给出详细化简过程。

刚刚，我们推出了这两个公式，它们分别是：

$$(\sum_{k=1}^{n}|x-k|)_{min} = \begin{cases} 2\cdot [\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil-1}(\lceil \frac{n}{2} \rceil-k)](\lbrace n,k \rbrace\in\mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=1) \\ \\ 2\cdot[ \sum_{k=1}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1}(\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-k) ]-\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n(\lbrace n,k \rbrace\in\mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=0) \end{cases}$$

首先，观察第一个式子，我们可以使它变得更加长，如下式：

$$\begin{aligned} \text{原式} & = 2\cdot [\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil-1}(x-k)](x=\lceil \frac{n}{2} \rceil,\lbrace n,k \rbrace\in\mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=1) \\ & =2\cdot\lbrace (x-1)+(x-2)+(x-3)+\cdots+[x-(\lceil \frac{n}{2} \rceil-1)] \rbrace\\ & =2\cdot[ x-1+x-2+x-3+\cdots+x-\lceil \frac{n}{2} \rceil+1 ]\\ & =2\cdot[x+x+x+\cdots+x-(1+2+3+\cdots+\lambda)](\lambda=\lceil \frac{n}{2} \rceil-1)\\ & =2\cdot[x\cdot(\lceil \frac{n}{2} \rceil-1)-(\sum_{k=1}^{\lambda}k)]\\ & =2\cdot[x\cdot\lceil \frac{n}{2} \rceil-x-\frac{\lambda(1+\lambda)}{2}]\\ & =2\cdot[x\cdot\lceil \frac{n}{2} \rceil-x-\frac{\lambda+\lambda^{2}}{2}] \end{aligned}$$

将 回代为 ，得：

$$\begin{aligned} 2\cdot[x\cdot\lceil \frac{n}{2} \rceil-x-\frac{\lambda+\lambda^{2}}{2}] & = 2\cdot[\lceil \frac{n}{2} \rceil^{2}-\lceil \frac{n}{2} \rceil-\frac{(\lceil \frac{n}{2} \rceil-1)+(\lceil \frac{n}{2} \rceil-1)^{2}}{2}] \\ & = 2\cdot[(\frac{n+1}{2})^{2}-\frac{n+1}{2}-\frac{\frac{n+1}{2}-1+(\frac{n+1}{2}-1)^{2}}{2}]\\ &\text{令}\gamma=\frac{n+1}{2}-1+(\frac{n+1}{2}-1)^{2}\\ \text{原式}& =2\cdot[\frac{n^{2}+2n+1}{4}-\frac{2n+2}{4}-\frac{\gamma}{2}] \end{aligned}$$

接着，我们来化简 ，如下：

$$\begin{aligned} \gamma & =\frac{n+1}{2}-1+(\frac{n+1}{2}-1)^{2}\\ \\ & = \frac{2n+2}{4}-\frac{4}{4}+\frac{n^{2}+2n+1}{4}-2\times\frac{n+1}{2}+1\\ & = \frac{2n-2}{4}+\frac{n^{2}+2n+1}{4}-(n+1)+1\\ & =\frac{2n-2+n^{2}+2n+1}{4}-n-1+1\\ & =\frac{n^{2}+4n-1}{4}-n \end{aligned}$$

则 为：

$$\begin{aligned} \frac{\gamma}{2} & =\frac{\frac{n^{2}+4n-1}{4}-n}{2}\\ &=\frac{n^2+4n-1}{8}-\frac{4n}{8}\\ &=\frac{n^2-1}{8} \end{aligned}$$

将 代入原式计算得：

$$\begin{aligned} \text{原式}& =2\cdot(\frac{n^{2}+2n+1}{4}-\frac{2n+2}{4}-\frac{\gamma}{2})\\ & =2\cdot(\frac{n^2-1}{4}-\frac{n^2-1}{8})\\ & =2\cdot(\frac{2n^2-2}{8}-\frac{n^{2}-1}{8})\\ & =2\cdot\frac{n^{2}-1}{8}\\ & =\frac{n^2-1}{4} \end{aligned}$$

这便是化简后的式子①。

我们还有一个式子②，接下来继续化简它。

还是老样子，我们将它变长，得到如下递等式：

$$\begin{aligned} \text{式②}&=2\cdot[ \sum_{k=1}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1}(\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-k) ]-\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n(x=\lceil \frac{n-1}{2} \rceil,\lbrace n,k \rbrace\in\mathbb{Z^{+}},n \bmod 2=0) \\ &=2\cdot\lbrace (x-1)+(x-2)+(x-3)+\cdots+[x-( \lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1 )] \rbrace -\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n \\ &= 2\cdot[x-1+x-2+x-3+\cdots+x-(\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1)]-\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n\\ &\text{令}\lceil \frac{n-1}{2} \rceil-1=\delta\\ &=2\cdot[x+x+x+\cdots+x-(1+2+3+\cdots+\delta)]-\lceil \frac{n-1}{2} \rceil+n\\ &\because x=\lceil \frac{n-1}{2} \rceil=\frac{n}{2}\\ &\therefore \delta=\frac{n-2}{2}\\ \therefore\text{原式}&=2\cdot[x+x+x+\cdots+x-(1+2+3+\cdots+\delta)]-\frac{n}{2}+n\\ &=2\cdot[x+x+x+\cdots+x-(1+2+3+\cdots+\delta)]+\frac{n}{2}\\ &=2\cdot[\underset{\delta\text{个}}{\underbrace{x+x+x+\cdots+x}}-(1+2+3+\cdots+\delta)]+\frac{n}{2}\\ &=2\cdot[\delta\cdot x-(\sum_{k=1}^{\delta}k)]+\frac{n}{2}\\ &=2\delta x-2(\sum_{k=1}^{\delta}k)+\frac{n}{2}\\ &=2\delta x-2\cdot\frac{\delta\cdot(1+\delta)}{2}+\frac{n}{2}\\ &=2\delta x-\delta\cdot(1+\delta)+\frac{n}{2}\\ &=2\delta x-\delta-\delta^{2}+\frac{n}{2}\\ &=x\cdot(n-2)-\frac{n-2}{2}-(\frac{n-2}{2})^{2}+\frac{n}{2}\\ &=nx-2x-(\frac{2n-4}{4}+\frac{n^{2}-4n+4}{4})+\frac{n}{2}\\ &=nx-2x-\frac{2n-4+n^{2}-4n+4}{4}+\frac{n}{2}\\ &=\frac{n}{2}\cdot n -n -\frac{2n-4+n^{2}-4n+4}{4}+\frac{2n}{4}\\ &=\frac{n^2}{2}-n-\frac{2n-4+n^2-4n+4-2n}{4}\\ &=\frac{n^2}{2}-n-\frac{n^2-4n}{4}\\ &=\frac{2n^2}{4}-\frac{4n}{4}-\frac{n^2-4n}{4}\\ &=\frac{2n^2-4n-n^2+4n}{4}\\ &=\frac{n^2}{4} \end{aligned}$$

至此，我们的两个公式均已化简出来了，如下：

$$(\sum_{k=1}^{n}|x-n|)_{min} \begin{cases} \frac{n^2-1}{4} & n \bmod 2=1 \\ \\ \frac{n^2}{4} & n \bmod 2=0\\ \end{cases}$$

有兴趣的读者可再自行推导一遍公式。